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Halley
und die Sonnenparallaxe
Weder
Horrox noch seine Zeitgenossen erkannten die
Möglichkeit, aus der Beobachtung eines Transits die
Sonnenparallaxe zu bestimmen, deren Kenntnis die Grundlage
für alle astronomischen Entfernungsbestimmungen bildet.
Aus dem dritten Keplerschen Gesetz, das die Umlaufdauern T
und die (großen) Halbachsen a der Planeten in
Beziehung setzt
T12
/ T22 = a13 /
a23
ergeben
sich diese nur im Verhältnis zueinander und nicht
absolut. Bei Kenntnis des Abstandes Sonne-Erde wird es
möglich, das Sonnensystem zu vermessen.
Unter
der Sonnenparallaxe versteht man den Winkel
α,
unter dem der (äquatoriale) Erdradius von der Sonne aus
erscheint.
Mit
dem (bekannten) Erdradius r ergibt sich der daraus der
Abstand R zwischen Sonne und Erde:
R
= r / tan α
Aristarch
von Samos
(um 320 - 250 v. Chr.) hatte die Entfernung zwischen Erde
und Sonne zu 19 Mondabständen bestimmt.
Hipparchus (190 - 120 v. Chr.) und Ptolemäus (85 - 165)
leiten aus Beobachtungen von Mondfinsternissen einen
Sonnenabstand von 1210 Erdradien her, entsprechend einer
Sonnenparallaxe von 166''.
Dieser
Wert hatte viele Jahrhunderte mit nur kleinen
Änderungen Bestand: Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543)
und Tycho Brahe (1546 - 1601) gaben die mittlere
Sonnenentfernung mit 1142 Erdradien an (Sonnenparallaxe
180'').
Edmond Halley (1656-1742)
Bildquelle: 
MacTutor
History of Mathematics,
Biographie
Die
Idee, aus der Beobachtung von Transiten die Sonnenparallaxe
zu bestimmen, hatte Edmond Halley (1656-1742). Nach dem
Studium der Mathematik und Astronomie in Oxford, das er
bereits mit 17 Jahren begann, betraute ihn schon 1676 die
englische Regierung mit einer Mission nach St. Helena, um
dort einen neuen Sternenkatalog des südlichen Himmels
zu erstellen. Dort beobachtete er auch den Merkurdurchgang
am 7. November 1677. Nach seiner Rückkehr 1678 schrieb
er an Moore:
I
have notwithstanding had the opportunity of observing the
ingress and egress of Mercury on the Sun, which compared
with the like Observation made in England, will give a
demonstation of the Sun's Parallax, which hitherto was
never proved, but by probable arguments.
Flamsteed
to Moore, 16 July 1678, Flamsteed Corresp., Vol 1,
pp643-6;
hier zitiert nach Alan
Cook (s.u.).
Es
gelang ihm, alle vier Kontaktzeiten zu bestimmen
[Cook]
|
a
|
Mercury
at edge of sun
|
9
h 26 min 17 s
|
|
b
|
Whole
of Mercury in the Sun
|
9
h 27 min 30 s
|
|
c
|
Edges
touch
|
2
h 40 min 08 s
|
|
d
|
End
of Transit
|
2
h 41 min 54 s
|
Im
Jahre 1716 unterbreitete er seine Methode der Royal Society.
"Methodus singularis, qua Solis parallaxis ope Veneris etc.
determinari poterit", Phil. Trans. 1716, "A new Method of
determining the Parallax of the Sun",
Edmond
Halley's Famous Admonition of
1716)
Berechnung:
Die
folgende Rechnung entspricht der Darstellung in dem Buch
Alan Cook: Edmond Halley - Charting the Heavens and the
Seas,
Wir
betrachten einen Beobachtungsort C mit der geographischen
Breite λ. Er hat den Abstand r cos λ von der
Drehachse der Erde (r=Erdradius). Während der Dauer T
des Transits dreht er sich mit der Erde
(Winkelgeschwindigkeit ω der Drehung um die Erdachse)
um den Winkel ωT weiter nach C'. Die Sehne CC' hat
(unter der Annahme, dass die Verbindungslinie zur Sonne die
Sehne halbiert) die Länge:
2
r cos λ sin (ωT/2)
Die
Projektion der Sehne auf die Ekliptik hat die
Länge:
2
r cos λ sin (ωT/2) cos I
(1)
wobei
I die Schiefe der Ekliptik ist (Winkel zwischen
Äquatorebene und Ebene der Ekliptik).
Während
der Dauer T des Transits bewegt sich der Erdmittelpunkt auch
auf seiner Bahn um die Sonne weiter, nämlich um die
Stecke
R
ΩE T (2)
(ΩE
= Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung um die Sonne, R =
Radius der Erdbahn = Abstand Sonne-Erde).
Insgesamt
legt der Beobachter während des Transits die Summe der
beiden Wege (1) und (2) auf der Ekliptik zurück:
R
ΩE T + 2 r cos λ sin (ωT/2) cos
I
Für
zwei Beobachter auf den Breiten λ1und λ2
und den Transitdauern T1 und T2
müssen diese Wege gleichlang sein. Also
gilt:
R
ΩE T1 + 2 r cos λ1 sin
(ωT1/2) cos I = R ΩE
T2 + 2 r cos λ2 sin (ωT2/2)
cos I
Da
die Differenz δT der Zeiten T1 und
T2 klein ist, gilt angenähert:
|
R
|
=
Abstand zwischen Sonne und Erde
|
|
r
|
=
Erdradius
|
|
T
|
=
Dauer des Transits (Mittelwert für die beiden
Beobachtungsorte)
|
|
δT
|
=
Differenz der Dauern
|
|
ω
|
=
Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung um ihre
Achse
|
|
ΩE
|
=
Winkelgeschwindigkeit der Erddrehuung um die
Sonne
|
|
λ1,
λ2
|
=
Breiten der Beobachtungsorte
|
|
I
|
=
Schiefe der Ekliptik
|
Die
Dauer eines zu erwartenden Transits läßt sich wie
folgt berechnen:
Die
Strecke, die der Schatten des Planeten auf der Sonnenscheibe
zurücklegt, ist
DS
(R - RP) /R
wobei
DS der Sonnendurchmesser ist. Es ergibt sich
für die Dauer T des Transits:
Alan
Cook: Edmond Halley - Charting the Heavens and the Seas,
Clarendon Press, Oxford 1998, ISBN 0 19 850031 9
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