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Halley und die Sonnenparallaxe

Weder Horrox noch seine Zeitgenossen erkannten die Möglichkeit, aus der Beobachtung eines Transits die Sonnenparallaxe zu bestimmen, deren Kenntnis die Grundlage für alle astronomischen Entfernungsbestimmungen bildet. Aus dem dritten Keplerschen Gesetz, das die Umlaufdauern T und die (großen) Halbachsen a der Planeten in Beziehung setzt

T12 / T22 = a13 / a23

ergeben sich diese nur im Verhältnis zueinander und nicht absolut. Bei Kenntnis des Abstandes Sonne-Erde wird es möglich, das Sonnensystem zu vermessen.

Unter der Sonnenparallaxe versteht man den Winkel α, unter dem der (äquatoriale) Erdradius von der Sonne aus erscheint.

Mit dem (bekannten) Erdradius r ergibt sich der daraus der Abstand R zwischen Sonne und Erde:

R = r / tan α

Aristarch von Samos (um 320 - 250 v. Chr.) hatte die Entfernung zwischen Erde und Sonne zu 19 Mondabständen bestimmt.
Hipparchus (190 - 120 v. Chr.) und Ptolemäus (85 - 165) leiten aus Beobachtungen von Mondfinsternissen einen Sonnenabstand von 1210 Erdradien her, entsprechend einer Sonnenparallaxe von 166''.

Dieser Wert hatte viele Jahrhunderte mit nur kleinen Änderungen Bestand: Nikolaus Kopernikus (1473 - 1543) und Tycho Brahe (1546 - 1601) gaben die mittlere Sonnenentfernung mit 1142 Erdradien an (Sonnenparallaxe 180'').


Edmond Halley (1656-1742)
Bildquelle:
MacTutor History of Mathematics, Biographie

Die Idee, aus der Beobachtung von Transiten die Sonnenparallaxe zu bestimmen, hatte Edmond Halley (1656-1742). Nach dem Studium der Mathematik und Astronomie in Oxford, das er bereits mit 17 Jahren begann, betraute ihn schon 1676 die englische Regierung mit einer Mission nach St. Helena, um dort einen neuen Sternenkatalog des südlichen Himmels zu erstellen. Dort beobachtete er auch den Merkurdurchgang am 7. November 1677. Nach seiner Rückkehr 1678 schrieb er an Moore:

I have notwithstanding had the opportunity of observing the ingress and egress of Mercury on the Sun, which compared with the like Observation made in England, will give a demonstation of the Sun's Parallax, which hitherto was never proved, but by probable arguments.
Flamsteed to Moore, 16 July 1678, Flamsteed Corresp., Vol 1, pp643-6;
hier zitiert nach
Alan Cook (s.u.).

Es gelang ihm, alle vier Kontaktzeiten zu bestimmen [Cook]

a
Mercury at edge of sun
9 h 26 min 17 s
b
Whole of Mercury in the Sun
9 h 27 min 30 s
c
Edges touch
2 h 40 min 08 s
d
End of Transit
2 h 41 min 54 s

Im Jahre 1716 unterbreitete er seine Methode der Royal Society. "Methodus singularis, qua Solis parallaxis ope Veneris etc. determinari poterit", Phil. Trans. 1716, "A new Method of determining the Parallax of the Sun", Edmond Halley's Famous Admonition of 1716)

Berechnung:

Die folgende Rechnung entspricht der Darstellung in dem Buch Alan Cook: Edmond Halley - Charting the Heavens and the Seas,

Wir betrachten einen Beobachtungsort C mit der geographischen Breite λ. Er hat den Abstand r cos λ von der Drehachse der Erde (r=Erdradius). Während der Dauer T des Transits dreht er sich mit der Erde (Winkelgeschwindigkeit ω der Drehung um die Erdachse) um den Winkel ωT weiter nach C'. Die Sehne CC' hat (unter der Annahme, dass die Verbindungslinie zur Sonne die Sehne halbiert) die Länge:

2 r cos λ sin (ωT/2)

Die Projektion der Sehne auf die Ekliptik hat die Länge:

2 r cos λ sin (ωT/2) cos I    (1)

wobei I die Schiefe der Ekliptik ist (Winkel zwischen Äquatorebene und Ebene der Ekliptik).

Während der Dauer T des Transits bewegt sich der Erdmittelpunkt auch auf seiner Bahn um die Sonne weiter, nämlich um die Stecke

R ΩE T    (2)

E = Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung um die Sonne, R = Radius der Erdbahn = Abstand Sonne-Erde).

Insgesamt legt der Beobachter während des Transits die Summe der beiden Wege (1) und (2) auf der Ekliptik zurück:

R ΩE T + 2 r cos λ sin (ωT/2) cos I

Für zwei Beobachter auf den Breiten λ1und λ2 und den Transitdauern T1 und T2 müssen diese Wege gleichlang sein. Also gilt:

R ΩE T1 + 2 r cos λ1 sin (ωT1/2) cos I = R ΩE T2 + 2 r cos λ2 sin (ωT2/2) cos I

Da die Differenz δT der Zeiten T1 und T2 klein ist, gilt angenähert:

 

R

= Abstand zwischen Sonne und Erde

r

= Erdradius

T

= Dauer des Transits (Mittelwert für die beiden Beobachtungsorte)

δT

= Differenz der Dauern

ω

= Winkelgeschwindigkeit der Erddrehung um ihre Achse

ΩE

= Winkelgeschwindigkeit der Erddrehuung um die Sonne

λ1, λ2

= Breiten der Beobachtungsorte

I

= Schiefe der Ekliptik

Die Dauer eines zu erwartenden Transits läßt sich wie folgt berechnen:

Die Strecke, die der Schatten des Planeten auf der Sonnenscheibe zurücklegt, ist

DS (R - RP) /R

wobei DS der Sonnendurchmesser ist. Es ergibt sich für die Dauer T des Transits:

 


Alan Cook: Edmond Halley - Charting the Heavens and the Seas,
Clarendon Press, Oxford 1998, ISBN 0 19 850031 9